sotrud.ru   1 2 3 ... 32 33

l^оо 1 0

{ временное среднее. Вообще говоря, доказательство эквивалентности фазового и временного усреднения представляет собой весьма сложную (и не решенную до конца) проблему, составляющую содержание так называемой эргодической теории, являющейся одним из разделов современной математики [10, 11]. В последние

Отметим замечательный факт, что множитель N! ь знаменателе фазоього объема, задолго до появления квантовой механики, вводил еще Гиббс, чтобы избежать термодинамического пара-докса, носящего его имя | возрастания энтропии при смешении одинаковых газов при одинаковой температуре и одинаковом давлении [9].


ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

десятилетия здесь достигнуты большие успехи, но соответствующий материал вы-ходит далеко за рамки нашего курса. Тем не менее, ниже мы еще вернемся к элементарному обсуждению этих вопросов.

Физический смысл подхода Гиббса можно качественно пояснить следующим образом. Выделим из нашей замкнутой системы некоторую подсистему, малую по сравнению со всей системой, но все еще макроскопическую. Подсистема предста-вляет собой опять механическую систему, но уже незамкнутую, а испытывающую всевозможные воздействия со стороны остальных частей большой системы. По-этому состояние рассматриваемой подсистемы будет меняться со временем весьма запутанным образом. В силу этой сложности и запутанности, за достаточно боль-шой промежуток времени выделенная подсистема побывает достаточно много раз во всех своих возможных состояниях. Точнее, обозначим АрАд некоторый малый уча-сток объема фазового пространства подсистемы. Можно полагать, что в течение достаточно длительного времени Т чрезвычайно запутанная фазовая траектория подсистемы много раз пройдет через всякий такой участок фазового простран-ства. Пусть А^ есть та часть полного времени Т, в течение которого подсистема находилась в данном объеме фазового пространства АрАд. При неограниченном увеличении Т отношение А1/Т будет стремиться к некоторому пределу:


Аю = lim — (1.

который и можно рассматривать как вероятность того, что при наблюдении подси-стемы в некоторый произвольный момент времени мы обнаружим ее находящейся в данном участке фазового пространства. Переходя к пределу бесконечно малого эле-мента объема фазового пространства мы вводим функцию распределения р(р, ^,^) ъ в силу самого определения (1.14) статистическое (фазовое) усреднение (1.12) пред-ставляется вполне эквивалентным усреднению по времени (1.13). Физикам, обычно, достаточно таких простых соображений. В частности, Ландау считал [1], что зна-чение эргодической проблемы вообще преувеличивается математиками. Несмотря на продолжающиеся дискуссии на эту тему, с прагматической точки зрения подход Гиббса не вызывает никаких сомнений, так как все основные выводы, полученные в рамках статистической механики получают полное экспериментальное подтвер-ждение.

В заключение отметим еще одно качественное обстоятельство, имеющее боль-шое значение для понимания основ статистической механики. Статистическое рас-пределение данной подсистемы, как правило, не зависит от начального состояния какой-либо другой малой части той же системы, так как влияние этого началь-ного состояния в течение достаточно большого промежутка времени совершенно вытесняется влиянием множества других частей системы. Оно не зависит также от начального состояния самой выделенной нами подсистемы, поскольку она с те-чением времени проходит через все возможные состояния и каждое из них может быть выбрано в качестве начального (потеря \памяти").
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

13


Статистическая независимость.

Рассмотрим некоторые простые результаты математической статистики, которые пригодятся в дальнейшем. Во многих случаях, замкнутая макроскопическая си-стема может быть \разбита" на ряд подсистем, которые достаточно слабо взаимо-действуют друг с другом, и в течение достаточно больших промежутков времени ведут себя приблизительно как замкнутые системы, т.е. являются квазизамкну-тыми. Статистическая независимость таких подсистем означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем.


Рассмотрим две такие подсистемы, и пусть { элементы

объема их фазовых пространств. Если рассматривать совокупность обеих подси-стем как одну составную систему, то с математической точки зрения статистическая независимость подсистем означает, что вероятность того, что составная система на-ходится в элементе ее фазового объема й() ( ) = й() () () ( ) разбивается на произведение вероятностей:

р12Л(12)^(12) = р1с1р(1)с1д(1)р2с1р(2)с1д(2) (1.15)

так что

Р12 = Р1/92, (1.16)

где /912 { функция распределения составной системы, а 1 и 2 { функции распре-деления отдельных подсистем.

Можно утверждать и обратное | факторизация функции распределения озна-чает, что система состоит из статистически независимых подсистем. Если 1 и /2 { две физические величины, относящиеся к двум различным подсистемам, то из (1.15) и (1.12) сразу же следует, что среднее значение произведения /1/2 равно произведению средних:

< 1/2 >=< 1 >< /2 > • (1.17)

Рассмотрим какую-либо физическую величину /, относящуюся к макроскопиче-скому телу или его части. С течением времени она меняется (флуктуирует) во-круг своего среднего значения < / >. В качестве меры флуктуации нельзя взять просто А/ = /— < / >, поскольку из-за возможности флуктуации обоих знаков всегда имеем < А/ >= 0. В качестве такой меры обычно рассматривают вели-чину < (А/) 2 >. При этом имеем < (А/) 2 >> 0, причем это среднее стремится к нулю только при / —►< / >, т.е. когда отклонения / от < / > обладают малой вероятностью. Величина:

^< (А/) 2 > = ^< (/- < / >) 2 > (1.18)

называется среднеквадратичной флуктуацией величины /. Легко видеть, что:

<(А/) 2 >= + 2 > (1.19)

=< /2 > -2 < / >< / > + < / > 2 =< /2 > - < / > 2,

так что среднеквадратичная флуктуация определяется разностью между сред-ним квадратом величины и квадратом ее среднего значения. При этом отношение



ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

p < (А/) 2 >/ < / > называется относительной флуктуацией величины /. Не-трудно убедиться, что относительные флуктуации большинства физических вели-чин быстро уменьшаются с ростом размеров (числа частиц) тела. В самом деле, большинство физических величин являются аддитивными, что является след-ствием квазизамкнутости отдельных частей тела: значение такой величины для всего тела является суммой значений этой величины для отдельных его частей. Пусть / есть такая аддитивная величина. Разобьем тело на большое число N при-мерно одинаковых частей (часто это может быть просто число частиц, из которых состоит система). Тогда:

N

/ = X, (1.20)

г =1

где /г- относится к отдельным частям. Очевидно, что для среднего значения имеем:

N

< / >= X < л > • (1.21)

С ростом N величина < / > растет примерно пропорционально N: < / >~ N. Подсчитаем среднеквадратичную флуктуацию /:

<(Д/) 2 >=<( XД/г) 2 >. (1.22)

г

В силу статистической независимости различных частей тела:

< А/,-А/* >=< А/,- >< А/, >=0 (г' = к) (1.23)

поскольку каждое < А/г- >= 0. Тогда:

N

< (А/) 2 >= X < (А/г) 2 > (1.24)

Отсюда ясно, что с ростом N имеем также и < (А/) 2 >~ N. Тогда, относительная флуктуация:

< (А/) 2 > лN 1

N N

(1.25)

Видим, что относительная флуктуация любой аддитивной величины убывает обратно пропорционально квадратному корню из числа частей (частиц) макроско-пического тела, а потому при достаточно большом значении N (например N ~ 10 22 ) сама величина / может считаться практически постоянной во времени и равной своему среднему значению. Если N не слишком велико, например N ~ 10 6 , то от-носительные флуктуации уже не так малы и вполне наблюдаемы. Такие системы принято называть мезоскопическими.



ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ









Рис. 1-1 Изменение начального объема С0 в фазовом пространстве, обусловленное движением входящих в этот объем изображающих точек ансамбля, в соответствии с теоремой Лиувилля.

Теорема Лиувилля.

Возможность введения функции распределения как плотности вероятности осно-вана на теореме Лиувилля | чисто механической теореме, не содержащей каких-либо статистических соображений. Согласно этой теореме для систем, подчиняю-щихся уравнениям Гамильтона:

сИ

ОН

дрк

<
и

он


(1.26)


фазовый объем системы остается постоянным в процессе движения. То есть, если в начальный момент времени фазовые точки ( 0, ^0 ), составляющие ансамбль Гиббса, непрерывно заполняли некоторую область начальных значений С0 в фазовом про-странстве, а в момент I они заполняют область С%, то соответствующие фазовые объемы равны между собой:

(1.27)

или, для бесконечно малых элементов фазового объема:

А0 с?д = йр^

(1.28)


Другими словами, движение фазовых точек, изображающих системы в фазовом пространстве, подобно движению несжимаемой жидкости, как это показано на Рис.1.1 { \капля", образованная фазовыми точками, представляющими системы из ансамбля может как угодно деформироваться в процессе движения, но ее объем сохраняется.

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ




с помощью замены переменных интегрирования 0,д0 на р, д. Тогда, согласно из

Чтобы доказать теорему Лиувилля, преобразуем интеграл в правой части (1.27) эмощью замены переменных интегрирования 0,д0 н вестным правилам преобразования кратных интегралов:

<9(р, ?) 00


Арх1д

(1.29)

с,


сод(Р0,д0 )


9(р,д)


где


ди

ди

дх

ду

ду

ду

дх

ду




д(—о) соответствующий якобиан преобразования. Напомним, что якобиа-ном называют детерминант вида (ограничимся двумерным случаем, обобщение на многомерный очевидно):

(1.30)

(1.31) (1.32)

(1.33) (1.34)

(1.35)

д(и, у) д(х,у)


Он обладает следующими очевидными свойствами:

д(и,у) д(у,и)

д(х,у) д(х,у)


ди дх


д(и,у)

д(х,у) Имеют место также следующие соотношения:

д(и, у) д(и, у) д(1, в) д(х,у) д(г,з) д(х,у)

йд(и,у) =д(^,у) + д(и,%) (Ид(х,у) д(х,у) д(х,у)

Покажем, что якобиан в (1.29) в силу уравнений Гамильтона равен единице

1.


д(р, д)

д( 0,д0 )


Для этого докажем, что полная производная этого якобиана по времени равна нулю:

Л д(р,д)

(1.36)


0.

(Ид( 0,д0 )

Отсюда будет следовать, что якобиан равен постоянной, а именно единице, т.к. он был равен единице в начальный момент времени. Для краткости проведем дока-зательство для случая двумерного фазового пространства, когда имеется только одна координата д и один импульс р. Согласно свойству (1.34) можем написать:

й д(р,д) д(р,д) д(р,д)

д( 0^0 )


<Ид(р0,д0 ) д(р0,д0 ) Далее, согласно (1.32) и (1.33) имеем:

д(р,ч) д(р,д) д(р,д)

дд д(р,д)

д( 0, 90 ) д(р, д) д(р0, д0 ) дд д(р0, д0 )

(1.37)

(1.38)



ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

17


д(р,д) д(р,д) д(р,д) др д(р,д)


д( 0,д0 ) д(р,д)д( 0,д0 ) дрд(р0,д0 )

Л д(р,д) = др + дд д(р,д)

А1д(р0, д0 ) др дд д(р0,д0 )

Видно, что сумма в скобках в правой части равна нулю в силу уравнений движения:


дН др

дН дд

дд д2Н

др

дд дддр

др

5р 5д др дд

0




(1.41)

так, что


(1.42)
ид идир ир

и, соответственно

(1.43)

что и доказывает сделанные выше утверждения.

Теорема Лиувилля { чисто механическая теорема и статистическая функция распределения пока еще нигде не фигурировала. Однако, фактически, с помощью функции распределения можно дать другую формулировку теоремы Лиувилля. При движении в фазовом пространстве \капли", представляющей ансамбль Гиббса (Рис.1.1), число фазовых точек в ней (число систем в ансамбле), естественно, не изменяется { все фазовые точки, находящиеся в момент I в элементе объема ёрёд, перейдут в момент I' в элемент Ар'Ад'. Соответственно, можем написать:


р(р, д, 1)АрАд = р(р', д', 1')Ар'Ад', (1.44)

а поскольку в силe теоремы Лиувилля имеем АрАд = Ар'Ад', то получаем:

р(р,д,1)= р(р',д'Х) (1.45)

так, что функция распределения р постоянна вдоль фазовых траекторий { это и есть альтернативный вариант формулировки теоремы Лиувилля, использующий понятие функции распределения, но по прежнему являющийся чисто механическим утверждением.

Используя доказанные положения, можно вывести уравнение Лиувилля, фак-тически являющееся уравнением движения для функции распределения. Полагая момент времени I бесконечно близким к I' = I + А1 из (1.45) имеем:

р(р,д,*)= р(р + рЛ1,д + дЛ1,1 + Л1) (1.46)

Предполагая дифференцируемость р, получаем дифференциальное уравнение:

здг

Лр др ^ др др _

Я=й + (^ + 5^)=0 (1.47)

что с учетом уравнений Гамильтона сводится к:

дЬ ^ дс1к дрк дрк дс!к

к


18

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ



Сумма в правой части (1.48) представляет собой скобку Пуассона для Н и р

дН др дН др ддъ дрк дрк ддк



<< предыдущая страница   следующая страница >>