sotrud.ru 1 2 ... 46 47

Московский Институт Стали и Сплавов

Лекции по математическим методам физики
конденсированного состояния
Я.И. Родионов
Москва – 2011



Введение
В настоящем сборнике я собрал лекции, прочитанные мной студентам
МИСиС и института теоретической физики Ландау. Выбор тем может
показаться экстравагантным. Я, однако, не стремился к полноте
освещения, а скорее хотел подробно рассказать те темы, с которыми
сталкивался при работе и которые были мне интересны. Излагая
материал , по возможности, элементарно, я постарался сохранить
дух лекционной аудитории: атмосферу непосредственного контакта
рассказчика и слушателя. На сколько мне это удалось - судить
читателю.
i

Оглавление
Введение
i
Оглавление
ii
1
Математический экскурс
1
§1
Сведения из теории функций комплексного переменного
1
§2
Немного о Γ-функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
§3
Расчёт бесконечных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§4
Разложение функции на простые дроби . . . . . . . . .
8
§5
Разложение функции в бесконечное произведение . . .
11
§6
Расчёт бесконечных произведений . . . . . . . . . . . .
12
§7
Необычные бесконечные произведения . . . . . . . . .
12
§8
Метод преобразования Меллина . . . . . . . . . . . . .
15
§9
Гипергеометрическая функция . . . . . . . . . . . . . .
19
§10
Метод Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§11
Метод перевала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
§12
Приложение. Семинар по эффекту Ааронова-Бома. . .
49
§13
Уравнения с линейными коэффициентами . . . . . . .
53
§14
Примеры решения уравнений методом Лапласа . . . .
55
§15
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

§16

Полезные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
§17
Когерентные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
§18
Конформные отображения и двумерная электростатика 71
2
Физические приложения
77
§1
Улучшенный метод ВКБ
. . . . . . . . . . . . . . . . .
77
§2
Кратко о вторичном квантовании . . . . . . . . . . . . 104
§3
Базис когерентных состояний . . . . . . . . . . . . . . . 107
§4
Квантование простейших полей . . . . . . . . . . . . . 107
§5
Семинар по квантованию кондактанса . . . . . . . . . 107
ii


ОГЛАВЛЕНИЕ
iii
§6
Линейный отклик и запаздывающая функция Грина . 123
§7
Функциональный интеграл в квантовой механике . . . 127
§8
Основы бозонизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§9
Семинар по универсальному сопротивлению . . . . . . 134
§10
Семинар по фермиевской сингулярности . . . . . . . . 134
§11
Двугорбый потенциал. Инстантоны. . . . . . . . . . . . 134
3
Решения
135
Литература
145


Глава 1
Математический экскурс
В эту главу я включил изложение метода перевала
и метод Лапласа решения линейных дифференциальных
уравнений. В своем рассказе я решил не стремиться
к математической строгости, думаю, она лишь мешает
пониманию сути излагаемых методов. Те исключительные
случаи, когда пренебрежение строгостью приводит к
неправильным результатам, как правило, становятся
предметами специальных исследований и при первом
знакомстве забудем о них.
§1 Сведения из теории функций
комплексного переменного
Напомним читателю несколько важных определений, с которыми
мы будем работать. Нам будут часто попадаться функции, довольно
простые по своей сути. Одна из таких функций:
Мероморфная
функция
-

функция,

единственными
особенностями которой в открытой комплексной плоскости являются
полюсы.
Под
открытой
комплексной
плоскостью
я
подразумеваю
комплексную плоскость без бесконечно удалённой точки. Такая
плоскость обозначается C (комплексная плоскость с бесконечностью
обозначается через ¯
C). Например, sin z,
cos z
1/ sin z, 1/(z − 1) -
мероморфные функции. Причём первые две вообще не имеют полюсов
1



следующая страница >>