sotrud.ru 1 2 ... 32 33

















ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ


2
Содержание

1 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ 7

Введение 8

Функции распределения 8

Статистическая независимость 13

Теорема Лиувилля 15

Роль энергии, микроканоническое распределение 19

Частичные функции распределения* 22

Матрица плотности 26

Чистый ансамбль 26

Смешанный ансамбль 28

Квантовое уравнение Лиувилля 30

Микроканоническое распределение в квантовой статистике 31

Частичные матрицы плотности* 32

Энтропия 35

Гиббсовская энтропия. Энтропия и вероятность 35

Закон возрастания энтропии 38

2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА 43

Каноническое распределение Гиббса 43

Распределение Максвелла 48

Свободная энергия в распределении Гиббса 50

Распределение Гиббса с переменным числом частиц 51

Вывод термодинамических соотношений из распределения Гиббса 53


3
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ 59

Распределение Больцмана 59

Распределение Больцмана в классической статистике 60

Неравновесный идеальный газ 62

Свободная энергия больцмановского идеального газа 65

Уравнение состояния идеального газа 66

Идеальный газ с постоянной теплоемкостью 67

Закон равнораспределения 68

Одноатомный идеальный газ 70

3
4

СОДЕРЖАНИЕ


4 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
73

Отклонение газов от идеальности 73

Формула Ван-дер-Ваальса 76

Термодинамические величины классической плазмы 78

5 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ
И БОЗЕ 81

Распределение Ферми 81

Распределение Возе 82

Неравновесные ферми{ и бозе{газы 83

Общие свойства ферми{ и бозе{газов 85

Вырожденный электронный газ 87

Релятивистский вырожденный электронный газ* 90

Теплоемкость вырожденного электронного газа 91

Магнетизм электронного газа. Слабые поля 93

Магнетизм электронного газа. Сильные поля* 96

Вырожденный бозе{газ 99

Статистика фотонов 101

6
КОНДЕНСИРОВАННЫЕ ТЕЛА 105

Твердые тела. Низкие температуры 105

Твердые тела. Высокие температуры 108

Формула Дебая 109

Квантовая жидкость. Спектр бозевского типа 112

Сверхтекучесть 115

Фононы в (бозе){жидкости* 119

Вырожденный бозе{газ с взаимодействием 122

Квантовая жидкость. Спектр фермиевского типа 125

Электронная ферми{жидкость металлов* 130

7 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
133

Куперовская неустойчивость 133

Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр 135

Сверхтекучий ферми{газ. Термодинамические величины 143

Учет кулоновского отталкивания* 146

Теория Гинзбурга { Ландау 149

8 ФЛУКТУАЦИИ
157

Распределение Гаусса 157

Флуктуации основных физических величин 160

Флуктуации в идеальном газе 163

9
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ 167

Метод молекулярного поля в теории магнетизма 167

Квазисредние* 173

Флуктуации параметра порядка 176

Скейлинг 181


СОДЕРЖАНИЕ 5

10 ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА 189

Линейная реакция системы на механическое возмущение 189

Электропроводность и магнитная восприимчивость 194

Спектральные представления временных корреляторов и двухвременные

функции Грина* 197

Дисперсионные соотношения Крамерса{Кронига и принцип симметрии Он-

сагера 200

11 ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ МНОГИХ ЧА-
СТИЦ
205

Метод квазичастиц и функции Грина 205

Диаграммный метод в проблеме многих тел 213

Уравнение Дайсона 216

Эффективное взаимодействие и диэлектрическая проницаемость 219

Функции Грина при конечной температуре 222

А Движение в фазовом пространстве, эргодичность и перемешивание.227

Эргодичность 227

Теорема возврата Пуанкаре 232

Неустойчивость траекторий и перемешивание 234

Б Статистическая механика и теория информации. 237

Связь распределений Гиббса с максимумом информационной энтропии. . . 237
\Демон" Максвелла и его изгнание 241

В Кинетические уравнения. 245

Кинетическое уравнение Больцмана 245

H { теорема 251

Квантовые кинетические уравнения 252

Электрон { фононное взаимодействие 253

Электрон { электронное взаимодействие 257

6 СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

Мы можем представить себе большое число систем одинаковой природы, но раз-личных по конфигурациям и скоростям, которыми они обладают в данный момент и различных не только бесконечно мало, но так, что охватывается каждая мы-слимая комбинация конфигураций и скоростей. При этом мы можем поставить себе задачей не прослеживать определенную систему через всю последователь-ность ее конфигураций, а установить, как будет распределено все число систем между различными возможными конфигурациями и скоростями в любой требу-емый момент, если такое распределение было задано для какого-либо момента времени. Основным утверждением при таком исследовании является уравнение, дающее скорость изменения числа систем, заключенных внутри определенных ма-лых границ конфигурации и скорости. Такие исследования Максвелл называл ста-тистическими. Они принадлежат к отрасли механики, обязанной своим происхо-ждением стремлению объяснить законы термодинамики исходя из механических принципов, и основанной, главным образом, Клаузиусом, Максвеллом и Больцма-ном.

Джозайа Виллард Гиббс, Нью-Хэйвен, 1901 г. [5]

7
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

Введение.

Традиционно подразумевается, что статистическая физика (статистическая меха-ника) рассматривает системы, состоящие из большого числа частиц, движущихся согласно законам классической или квантовой механики. Исторически она возни-кла в конце XIX века из попыток провести механистическое обоснование законов термодинамики в работах Дж.Максвелла и Л.Больцмана. Практически полное за-вершение формальный аппарат статистической механики получил в фундаменталь-ном труде Дж.В.Гиббса [6], появившимся в самом начале XX века. Замечательной особенностью метода Гиббса, созданного задолго до появления современной кван-товой теории, оказалась применимость его и к квантовым системам. В настоящее время статистическая физика вышла далеко за рамки первоначальных задач обо-снования термодинамики и ее методы и идеология пронизывают, фактически, все основные разделы современной теоретической физики. Понимаемая узко, как тео-рия систем многих (взаимодействующих) частиц, она имеет глубокие связи с совре-менной квантовой теорией поля, являющейся наиболее фундаментальной теорией материи. В тоже время, оказалось, что и при описании механического движения систем, состоящих из сравнительно небольшого числа частиц, даже в рамках клас-сической механики, мы зачастую должны использовать статистические методы, что связано с крайне сложным (неустойчивым) характером движения в большинстве не-тривиальных случаев. Идеи и методы статистической механики являются основой для понимания процессов в твердых телах, газах, жидкостях и плазме, а совре-менная теория взаимодействия элементарных частиц (упомянутая выше квантовая теория поля) является, с самого начала, теорией систем с бесконечным числом степеней свободы, где статистические методы играют основополагающую роль. К сожалению, в рамках данного курса мы лишены возможности сколько-нибудь по-дробного обсуждения всех этих связей и ограничимся лишь достаточно традици-онными проблемами описания простых моделей статистической механики [1, 2, 4], которые, тем не менее, являются основой современного понимания и гораздо более сложных задач.


Функции распределения.

Рассмотрим систему из N одинаковых (для простоты) взаимодействующих частиц, находящихся в конечном, но макроскопически достаточно большом объеме V. Для простоты также считаем, что частицы не обладают внутренними степенями сво-боды. Если движение частиц описывается законами классической механики, то состояние к-ой частицы задается значениями ее координат k и импульса рk , а состояние всей системы | заданием значений всех координат ^1,^2, ^^^,<^N и им-пульсов Р1Р2, ■■-,РN- Таким образом состояние системы может быть описано за-данием точки в 6N{мерном фазовом пространстве: (ц.1,<12, ■■-,N,Р1,Р2, ■■-,РN ) | фазовой точки. Динамическая эволюция системы определяется уравнениями дви-
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

9


жения Гамильтона:

(ки_ = дН_ с^к_ = _дН_

сН дрк сН дц^к'

где

Я = Н((1,Ч2, ...N,Р1Р2, ■■-,РN ) = Н(р^) (1.2)

полный гамильтониан системы. Рассмотрим простейший случай, когда частицы вза-имодействуют посредством парного центрально-симметричного потенциала ?7(^г- — Цк\), так что гамильтониан системы имеет вид:

N 2 1

Я = ЕЙ+ 2Е^(1^-^1) (1.3)

к =1 г=к

Тогда уравнения движения имеют вид:

Чк =— Рк = ~ > , ^ =*к, (1.4)

где Г^{сила, с которой на к-ю частицу действуют все остальные. Ясно, что для сколько-нибудь заметного значения N решение системы уравнений (1.4) не пред-ставляется возможным, даже численными методами. Кроме того, даже если бы мы могли найти такое решение, то и пользы от него было бы не так уж много. Дело в том, что реальная траектория движения каждой из частиц скорее всего оказалась бы весьма запутанной. Более того, решать уравнения (1.4) нужно, естественно, с некоторыми начальными условиями, а решение, как правило, оказывается крайне чувствительным к выбору этих условий, точное знание которых в реальной ситу-ации отсутствует. В силу развивающейся в большинстве случаев неустойчивости движения, решения (траектории), соответствующие даже весьма близким началь-ным условиям, в течение весьма короткого времени начинают экспоненциально от-личаться и не имеют ничего общего. В результате, из таких решений мы мало что можем узнать о макроскопических свойствах системы из большого числа N частиц, которые, собственно говоря, нас и интересуют. Фактически, проблемы, связанные с неустойчивостью траекторий возникают уже в случае систем, состоящих всего из нескольких частиц. Именно эти обстоятельства и вынуждают нас прибегнуть к статистическому анализу.


Итак, уравнения движения (1.4) определяют движение фазовой точки в фазо-вом пространстве, что и определяет механическое состояние системы. Траектория фазовой точки в фазовом пространстве называется фазовой траекторией. Для кон-сервативных систем энергия сохраняется, так что:

Н(Ч,р)= Е (1.5)

Следовательно, фазовая траектория должна лежать на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве, определяемой условием (1.5) | так называемой эргодической поверхности. 2

Интересно заметить, что метод Гиббса полностью осноьан на использоьании именно гамиль-тоноьой, а не лагранжеьой формулироьки классической механики.

Важную роль ь определении структуры фазоього пространстьа играет теорема Коши о един-стьенности решений системы обыкноьенных дифференциальных ураьнений. При доьольно мяг-ких услоьиях на правые части уравнений (1.4), существует единственное в любой момент времени решение. Эта теорема автоматически исключает пересечение двух разных траекторий в любой регулярной точке фазового пространства (кроме неподвижных точек, соответствующих равенству нулю правых частей (1.4)).


ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

Когда макроскопическая система находится в (термодинамическом) равновесии, ее макроскопические характеристики остаются постоянными во времени (темпера-тура, объем, давление и т.п.), однако с микроскопической точки зрения ее состоя-ние все время меняется и мы не знаем, в каком конкретно микросостоянии система находится в данный момент (т.е. где конкретно в данный момент находится фа-зовая точка на эргодической поверхности). Статистический подход заключается в том, что мы можем попытаться определить вероятность реализации совокупности всех возможных микросостояний системы, отвечающих данному ее макросостоя-нию. Следуя Гиббсу, принято рассматривать не данную конкретную систему, а совокупность большого (в пределе N —► оо бесконечного!) числа ее копий, нахо-дящихся в макроскопически тождественных условиях, представляющих так на-зываемый ансамбль Гиббса, описывающий макроскопическое состояние системы. Тождественность внешних условий в макроскопическом смысле означает, что все экземпляры ансамбля характеризуются одинаковыми значениями соответствую-щих макроскопических параметров (с точностью до достаточно малых флуктуации) и одинаковыми типами контактов с окружающими телами (резервуарами энергии или частиц, поршнями, стенками и т.п.). В результате возникают определенные ограничения на координаты и импульсы частиц, которые в остальном достаточно произвольны.


Статистический ансамбль задается функцией распределения р(р^,1), имеющей смысл плотности вероятности распределения систем в фазовом пространстве, так что:

йги = р(р, д^)ёрс1д (1.6)

представляет собой вероятность найти систему (из ансамбля Гиббса!) в момент вре-мени I в элементе фазового объема с?рс?д вблизи точки (р, д) = (р1, ..., рдг, ^1, ..., ^л^). Функция распределения должна удовлетворять очевидному условию нормировки:

/ йр^р(р^,1)= 1, (1.7)

поскольку сумма вероятностей всех возможных состояний должна равняться еди-нице. Именно такая нормировка функции распределения используется в курсе Лан-дау и Лифшица. Очень часто пользуются другим вариантом условия нормировки. Фактически, мы заранее понимаем, что классическая статистика есть предельный случай квантовой (как мы увидим позднее, этот переход происходит при доста-точно высоких температурах, когда квантовыми эффектами можно пренебречь). Из квантовой механики известно [7], что понятие координаты и импульса класси-ческой механики можно ввести только в рамках квазиклассического приближения. Минимальный размер фазовой ячейки для одномерного движения г'-й частицы в квазиклассическом приближении равен Н = 27ГЙ: 3

А??Ар? > А (1.8)

Квазиклассическое условие квантования Бора-Зоммерфелвда в одномерном случае имеет вид: рс/д = (п + 2")^. Интеграл здесв представляет площадв, охватываемую замкнутой классической фазовой траекторией. Разделив эту площадв на клеточки площадью 2-7гЯ, получим п клеток. Но п здесь | число квантовых состояний, с энергиями не превышающими заданного ее значения, соответствующего рассматриваемой траектории. Таким образом, каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве площадью 2-к%. Если ввести волновой вектор ча-

7 /+- АрАо АкАо

стипы к = р/Л, то получим * ъ = —2— , что СООТБетстБУет известному выражению для числа собственных колебаний волнового поля [8].

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ

11


Следовательно, минимальный размер ячейки в фазовом пространстве одной ча-стицы равен к3 = (27ГЙ) 3 , а в фазовом пространстве N частиц он равен (27г/г) 3Л. Величина (27ГЙ) 3ЛГ является естественной единицей для фазового объема. Поэтому часто бывает удобным ввести функцию распределения, нормированную на единицу при интегрировании по безразмерному фазовому объему (2^%)зм .

Кроме того, при рассмотрении системы N одинаковых частиц следует учесть, что перестановка тождественных частиц в квантовой механике не меняет состояния системы. Поскольку число перестановок для N тождественных частиц равно N!, то элемент фазового объема нужно уменьшить в N! раз, так как нужно учитывать только физически различные состояния.

Таким образом, функцию распределения часто удобнее определять с помощью

соотношения:

йрйд
**> = Р(Р,9,*) N!(21гП) 3, (1.9)

а условие нормировки записывать в виде:

Л>(р,<М)= 1, (1.10)

где:

Л- = _^в (1.11)

N!(2тг/г) 3лг

{ безразмерный элемент фазового объема. Интегрирование в (1.10) соответствует суммированию по всем различным квантовым состояниям системы. 4

Если функция распределения р(р,д,1) известна, то мы можем, в принципе, вы-числить вероятности и средние значения любых физических величин, зависящих от координат и импульсов частиц, составляющих рассматриваемую систему. Среднее значение такой физической величины /(р, д) определяется как:

= У<Я>(р,

{ фазовое среднее. Усреднение с помощью функции распределения освобождает нас от необходимости следить за изменением истинного значения физической величины /(р, д) со временем с последующим определением ее среднего значения по времени. Последнее означало бы, что следя за изменением нашей величины со временем (проводя ее измерения в разные моменты времени), мы должны были бы построить функцию / = /(2), после чего искомое среднее определялось бы как:

1 т


следующая страница >>