sotrud.ru   1 ... 30 31 32 33

§г + -+§ (■.3)


где Г = —VII { сила, действующая на атом со стороны поля. В дальнейшем для краткости полагаем, что внешнее поле отсутствует и Г = 0.

Учет столкновений нарушает равенство (В.1), функция распределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекторий и вместо (В.1) нужно написать:

1 =
ВЦ (В.4)

где символ 81 / обозначает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям. Используя (В.2) можем написать:

^ = -уУ/ + 5 (В.5)

что определяет полное изменение функции распределения в заданной точке фазо-вого пространства, где первое слагаемой в правой части есть убыль числа атомов в заданном элементе фазового пространства, связанная с их свободным движением. Величину 81 / называют интегралом столкновений, а уравнение (В.4) { кинетическим уравнением.

Конечно, кинетическое уравнение приобретает смысл только после установле-ния явного вида интеграла столкновений. Для качественного анализа кинетиче-ских явлений в газе часто используется грубая оценка интеграла столкновений с помощью понятия времени свободного пробега т { среднего времени между двумя последовательными столкновениями атомов (г { приближение):

Зг/^-1^
0 (В.6)

гДе 0 { равновесная функция распределения. Числитель этого выражения обес-печивает обращение интеграла столкновений в нуль в равновесном случае, а знак минус выражает тот факт, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия, т.е. стремятся уменьшить отклонение функции распре-деления от равновесной. В этом смысле величина г играет роль времени релаксации для установления равновесия в каждом элементе объема газа.

Последовательный вывод интеграла столкновений в классическом газе можно провести методом Боголюбова, который дает регулярную процедуру получения не только простейшего уравнения Больцмана (которое несложно получить и из чисто эвристических соображений [17]), но и поправок к нему. Ниже мы, однако, ограни-чимся лишь выводом именно больцмановского интеграла столкновений, чего вполне достаточно для иллюстрации общего метода.


Исходным пунктом метода Боголюбова является использование цепочки урав-нений для частичных функций распределения (1.93):

= {()Р.} + -^] ^ ^-йг.+1йр.+1 (В.7)

1 =1
Кинетические уравнения.

247


В конечном счете мы должны построить замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения /(р,г, 2) = ^-1 (г, р, {) 2 .

Для 1 (г, р, ^) из (В.7) и определения скобок Пуассона немедленно имеем первое уравнение цепочки в виде:

3*1 (*,1 ) + д11 ) N [дЦ12дР2 (12 )^

ОТ ОТ1 V ОТ1 (Зр1

где, для краткости, введены аргументы г = г, р.

Аналогичным образом, второе уравнение цепочки имеет вид:



дР2 дР2 дР2 д12 дР2 д12 дР2

у1 -у2 =

= **3

дР3д1/13 + З3 3(723

3р1 ЗГ1 Зр2 Зг2




(В.9)

Нетрудно убедиться, что интеграл, стоящий в правой части последнего уравнения мал. В самом деле, потенциал взаимодействия 11(г) заметно отличен от нуля только в пределах радиуса действия сил ё, т.е. при г < ё. Поэтому в рассматриваемом интеграле по ё3 интегрирование по координатам происходит фактически лишь по областям |г1 — г3| < (I или |г2 — г3| < (I, т.е. по объему ~ в3 . Используя (1.81) имеем 1 / 3ё3 = Р2 , где интегрирование ведется по всему фазовому объему. Тогда получаем следующую оценку:
N V

дР3 З13


дщг)др2с13

ат3 ^—^ 3 (В.10)

Зр1 ЗГ1


от о1 а°

где а { среднее расстояние между частицами в газе. Тогда ясно, что правая сто-рона уравнения (В.9) мала по параметру (с1/а) 3 (газ считается достаточно разре-женным!) по сравнению с членами, содержащими 811 /дг в левой части. Поэтому ей можно просто пренебречь. Совокупность слагаемых в левой части уравнения представляет собой полную производную ёР2/сИ, в которой Г1, Г2, Р1 Р2 рассматри-ваются как функции времени, удовлетворяющие уравнениям движения для задачи двух тел с гамильтонианом:


<< предыдущая страница