sotrud.ru 1 2 3 4



VII зональная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Направление: Математика

Название работы:

«
Задачи на смеси и их практическое применение»

Автор: Ветошкина Юлия, ученица 9 а класса
Место выполнения работы: МОУ ООШ № 21 г. Оленегорска
Мурманской области

Научный руководитель: Прокопенко Надежда Ивановна,
учитель математики МОУ ООШ №21

2008 г.


СОДЕРЖАНИЕ


  1. Введение 3

  2. Различные способы решения задач 5

  3. Задачи на изменение концентрации 7

  4. Задачи на «высушивание» 14

  5. Задачи на смешивание 17

  6. Задачи на переливание 21

  7. Задачи на добавление 26

  8. Заключение 30

  9. Список литературы 31

1. Введение

Цели и задачи исследования:

  1. Выяснить существуют ли другие (неизвестные нам) способы решения задач на смеси, если да, то изучить и применить при решении задач.

  2. Исследовать, как меняются формулы для нахождения количества «чистого» вещества и процентного содержания «чистого» вещества в полученной смеси после «п» переливаний в зависимости оттого, что дано в начале: смесь или «чистое» вещество.

  3. Систематизировать задачи по уровню сложности.

Почему мы выбрали данную тему?

  1. Задачи на смеси ежегодно включают в варианты ЕГЭ 11 класса, а теперь и в 9 классе, но многие ученики не приступают к решению, так как испытывают сложности при решении этих задач.
  2. Тема «Задачи на смеси» имеет практическую направленность. Собираясь в школу, мы пьем чай (не задумываясь о концентрации сахара в чае, однако кладем столько сахара, чтобы не пересластить), летом мы ходим за грибами, затем их сушат и мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, и при этом количество «сухого» вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы идем в аптеку, где готовят лекарство (смесь). Когда начинается эпидемия гриппа, технички моют пол, добавляя хлорку в воду для того, чтобы «убивать» микробы (если хлорки положить больше нормы, то можно отравиться). Мы пьем воду, которую предварительно обработали (на «Водоканале» воду очищают от примесей и обеззараживают). Наши родители работают на ГОКе и их зарплата зависит от %-ного содержания железа в добытой руде. И т. д.


  3. Мы выбрали тему «Задачи на смеси» еще и потому, что нас заинтересовали задачи на переливание:

Из сосуда, где находится p%-ный раствор вещества, отливают а литров смеси и доливают a литров воды. Какова доля вещества после n переливаний и сколько вещества в полученной смеси?

Мы вывели формулы ; ,а затем решили проверить как изменятся (или не изменятся) формулы, если вначале в сосуде находилось «чистое» вещество (кислота, спирт и так далее), получили , . Оказалось, что в новых формулах нет 0,01р. Теперь появилась возможность быстро решить задачи данного типа с числовыми данными.
В чем практическая значимость нашей работы?

По справочникам и учебным пособиям мы выбрали задачи на смеси и, решив, распределили их по блокам. А поскольку в ходе работы мы узнали новый способ решения задач на смеси – «старинный», то, изучив его, смогли решить задачи несколькими способами. В конце каждой задачи мы указали, начиная с какого класса можно ее решать. Это позволит учителю одну и ту же задачу (или ей подобную) включать в 5 классе (или в 6 классе) при изучении темы, а потом её же включить при повторении в 9 классе. Так как задачи решены различными способами, то ученики имеют возможность сравнивать способы решения, выбирать наиболее рациональный, кроме того, ученики повторяют, как найти часть от числа и число по части, прямую и обратную пропорциональность, решение уравнений и другое.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных в ходе исследования данных для работы на уроках.


2. Различные способы решения задач

Говоря о смесях, растворах, сплавах – будем употреблять термин «смесь» – независимо от ее вида (твердая, жидкая, сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и примеси. Что такое чистое вещество – определяем в каждой задаче отдельно.

Долей () чистого вещества в смеси называется отношением количества чистого вещества (m) в смеси к общему количеству смеси (М).
Например. В колбе 140 мл. 10%-ного раствора марганцовки. Долили 60 мл 30%-ного раствора марганца. Определить %-ное содержание марганца в полученном растворе.







m

М



Было

0,1 140 = 14 (мл)

140 мл

0,1

Добавили

0,3  60 = 18 (мл)

60 мл

0,3

Стало

32 мл

200 мл

?

– процентное содержание марганца в полученном растворе


Поменяем условие задачи: Сколько нужно взять 10%-ного раствора марганцовки и 30%-ного раствора, чтобы получить 200 мл. 16%-ного раствора марганца.
1 способ.

m


М



0,1  х мл

Х мл

0,1

0,3(200 – х) мл

(200 – х) мл

0,3

(0,1 + 0,3(200 – х)) мл

(200 – х) мл

0,16


0,1х + 0,3(200 – х) = 0,16  200

0,1х + 60 – 0,3х = 32

0,2х = 28 х = 140
10%-ного раствора надо взять 140 мл,

30%-ного раствора 60 мл.
2 способ.

10% взяли х мл, 30% - y мл; получили 200 мл, где 200  0,16 = 32 (мл) марганца, то

Получили: х = 140, y = 60

Решим эту задачу «старинным» способом:

Друг под другом пишут содержания веществ (в задаче это %-ное содержание марганца) имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание вещества в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединим записанные числа черточками, получим схему

Теперь из большего числа вычитаем меньшее, т.е. 16 – 10 = 6; 30 – 16 = 14
10 14

Получаем: 16

  1. 6


Из схемы делается заключение, что 10%-ного раствора надо взять 14 частей, а 30%-ного раствора – 6 частей.

Значит, в 200 мл: 14 + 6 = 20 (частей)

200 : 20  14 = 140 (мл) – 10%-ного раствора


200 : 20  6 = 60 (мл) – 30%-ного раствора

3. Задачи на изменение концентрации

3.1. Имеется бутылка 20%-ного раствора кислоты и бутылка 40%-ного раствора кислоты.

1) Смешали 200 г из I бутылки и 300 г из II. Сколько «чистой» кислоты содержится в смеси? Определить % - ное содержание кислоты в полученном растворе.

m

M



0,2  200 = 40 (г)

200

0,2

0,4  300 = 120 (г)

300

0,4

160 г

500

160

500

160 г чистой кислоты в смеси

- процентное содержание кислоты.

2) Взяли 300 г из I бутылки. Сколько надо долить из II, чтобы получить 32%-ный раствор?

m

M



0,2  300 = 60 (г)

300

0,2

0,4  х = 120 (г)

Х

0,4

(60 + 0,4х) г

(300 + х) г

0,32


60 + 0,4х = 0,32(300 + х)

60 + 0,4 х = 96 + 0,32х

0,08х = 36 х = 450
Надо долить 450 г II-го раствора.
3) Верно ли, что если из II бутылки берут на 50% больше, чем из I, то смесь всегда оказывается 32%-ным раствором кислоты?

m

M



0,2х л

х л

0,2

0,4  1,5х л = 0,6х (л)

1,5х л

0,4

0,8х л

2,5х л

0,8х

2,5х



3.2. Вода содержит 18% сахара. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг сладкой воды, чтобы содержание сахара составило 15%? (с 5 кл.)

1 способ.

Решение:

Пусть х – количество воды, которую надо добавить.

m M 
0,18 · 40=7,2 кг 40кг 0,18

0,15 · (40+х) (40+х)кг 0,15
Так как количество сахара не изменилось, то

0,15 · (40+х)=7,2

6 + 0,15х = 7,2

0,15х = 1,2

х = 8

Значит, нужно добавить 8кг пресной воды.

Ответ: 8 кг пресной воды
2 способ.

18 15

15

0 3 в 40 кг 15 частей

40 : 15  3 = 8 (кг)

3.3. Сколько граммов раствора марганцовки, концентрация которой 35%, надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация составила 10%? (с 6 кл.)

Решение:

m M 

исходный раствор 0,35х х г 0,35

вода 325г

полученный раствор 0,35х (х+325)г 0,1

Получили уравнение:

0,1·(х+325)=0,35х 0,1х+32,5=0,35х

0,1х – 0,35х= -32,5 -0,25х= - 32,5

х = 32,5:0,25 х = 130
Значит, 130г надо добавить.

Ответ: 130г.

2 способ

35 10

10

0 25 325 : 25  10 = 130 (г)
3.4 Сколько граммов воды нужно добавить к 5% - ой йодной настойке массой 100г, чтобы ее концентрация уменьшилось до 1%?(С 5 кл)

Решение:

Пусть х – количество воды, которую надо добавить.
m M 

I раствор 5г 100г 0,05

вода х г

II раствор 5г (х+100)г 0,01

Получили уравнение:

0,01·(х+100) = 5

0,01х + 1 = 5

0,01х = 4

х = 400

Значит, 400 г воды надо добавить.

Ответ: 400 г.
2 способ
5 1

1

0 4 100 : 1  4 = 400 (г)
3 способ
1) 100  0,05 = 5 (г) йода

2) 5 г это 1%

3) 500 – 100 = 400 (г)
3.5 Кусок сплава массой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60%?( с 6 кл)

Решение:

45 = 45%

36 · 0,45 = 16,2

Пусть масса меди, которую надо добавить в сплав х кг, тогда (36 + х) кг – масса сплава после добавления меди, (16,2 + х) кг – масса меди в сплаве после добавки.


Зная, что медь в сплаве после добавки составила 60%, составим и решим уравнение:
16,2 + х

———— = 0,6

36 + х
16,2 + х = (36 + х)·0,6

16,2 + х = 21,6 + 0,6х

х – 0,6х = 21,6 -16,2

0,4х = 5,4

х=13,5

Ответ: 13,5 кг меди нужно добавить.
2 способ

45 40

60

100 15 36 кг : 40  15 = 13,5 (кг)
3.6. Какую массу воды надо добавить к раствору сода + вода массой 90кг, содержащему 5% соды, чтобы получить раствор, содержащий 3% соды?(с 5кл)

Решение:

Пусть х – количество воды, которую надо добавить.
m M 

вода х кг

вода+сода 4,5 кг 90 кг 0,05

сода 4,5 кг (90 + х) кг 0,03
Получили уравнение:

(90 + х)· 0,03 = 4,5

2,7 + 0,03х = 4,5

0,03х = 1,8

х = 60

Значит, 60 кг воды нужно добавить.

Ответ:60 кг воды нужно добавить.
2 способ

5 3

3

0 2 90 г : 3  2 = 60 (г)


следующая страница >>