sotrud.ru 1 2 ... 416 417






 
 
Физика 
Математика 
 
29

© БГУ 
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 
М. М. ВАСЬКОВСКИЙ 
The theorem of the existence of solutions for stochastic differential functional equations with Borel measurable co-
efficients in infinite dimensional spaces is proved 
Ключевые  слова:  стохастическое  дифференциально-функциональное  уравнение,  стохастическое  эволюцион-
ное уравнение, слабое решение,  β -мартингальное решение, измеримая по Борелю функция 
1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
Рассмотрим стохастическое дифференциально-функциональное уравнение 
 
dX (t) = (t(t), )dt (t(t), )dW (t) , 
d
∈ , (1) 
t
t
с 
измеримыми 
по 
Борелю 
функциями 
:
d
×
× ([− ,0], )
d
f R
R
C
h
→ 
+
:
d
×
× ([− ,0], )
d d
g R
R
C
h
→ × ;  (t)  – d-мерное  броуновское  движение,  X t 
h
− ≤τ ≤ ∈ 
t
{ ( )
}0
+
∈ ([− ,0], d
C
h
) , ([− ,0], d
C
h
)  – пространство  непрерывных  функций :[
ϕ − ,0]
d
h
→   с  нормой 
ϕ( )⋅ = max ϕ(t) . 
d
C
− ≤ ≤0
R
h t

Матрица  σ ( , ,ϕ) = ( , ,ϕ) T

t X
g t X
(t,ϕ)  является симметрической неотрицательной. Существуют 
измеримые по Борелю ортогональная матрица   и диагональная матрица  Λ = diag{λ ,λ ,…,λ  та-
1
2
}
кие,  что 
T
σ = TΛ. Пусть  *
Tdiag { λ ,… λ . В дальнейшем будем считать, что в системе (1) 
1
}
*
 [1, с. 97-98]. Выберем  строки  матрицы    с  номерами  α ,…,α .  Построим  множество 
1
l
(α ,…,α = {(t,…, ) |для  любой  открытой  окрестности  (t,…, x
α
α
  точки  (t,…, )
α
α
 
1
)
1
)
α
α
1
l
1
l
1

существует  > 0 ,  что  интеграл 

sup
(detσ
(t,…, ,ϕ)
dtdx dx
α
  либо 
… α
α
α
1 ,
,
1
l
d
)
(
l
t,, ,
… x
x
, ,
… ,ϕ D
∈ (0,a)
1
α
α) ( αl+
αd
)
1
1
⎛ 
α1


не определён, либо равен  }
∞ , где σ
(t,…, ,ϕ)
T
T
= … g
… g

 
α
g
– строка с номером 
… α

⎟ α
α
α
1 ,
,
1
l
d
( 1
)

j

⎝ α ⎠
l
α  матрицы  ,  D a = ({
d
2
2
(0, )
,…, ,ϕ ,…, ∈ R,ϕ ∈C([− ,

0], ), x

+… + + ϕ ≤ a
α

+
α
α +
α
α +
α
1
d
1
d
1
d
C
}
j
Будем говорить, что вещественная функция  h(t,…, ,ϕ),∈ ,…, ∈ R,  ([
ϕ ∈
− ,0], d
C
h
),  
1
d
+
1
d
удовлетворяет условию А, если существуют строки  ,…, g
α
α  матрицы   такие, что функция   при 
1
l
каждых  фиксированных  (t,…, )

ϕ
α
α
  непрерывна  по  переменным  (, , ,
α
  и  множество 
+
α
1
d
)
1
l
({t,,…,,ϕ (t,,…,)∈α ,…,α   содержится  во  множестве  точек  непрерывности  отобра-
1
d
)
α
α
( 1
)
1
l
}
жения  
Функция  :
d
×
× ([− ,0], )
d r
h R
R
C
h
→ ×   называется  локально  ограниченной,  если  для  любого 
+
> 0  
существует 
постоянная (b) > 0  
такая, 
что 
h(t,ϕ) ≤ N(b)  
для 
любых 
∈[0, ],
d

,ϕ ∈ ([− ,0], d
t
b X
R
C
h
)  таких, что  ≤ ,
ϕ ≤ 
C
⎧⎛
1 ⎞

1 ⎞

1 ⎞

Построим  матрицы 
T
σ = TΛ ,  где  Λ = diag ⎨ λ +
∧ n, λ +

∧ n,…, λ +

∧ 
n
n
n
⎜ 1

⎜ 2

⎜ d










⎧ ⎛
1⎞

1




=Tdiag⎨ λ + ∧n, ,

λ + ∧(tX) = ( i
(t)), i
(t) = ( i
(t) ∨ (− ))
∧ ,
n i = 1,…,d,∈ 
n
⎜ 1

⎜ d


⎪ ⎝
n

n
n
n
n

⎪⎭
Для  каждого  натурального    существует  постоянная  α > 0 ,  что  det
T
g g = detσ ≥ α   для  всех 
n
n
n
n
n
( , ,ϕ)
d

×
× ([− ,0]
d
t X
R
R
C
h
→ ) . Кроме того, 
ϕ =
ϕ , 
σ
ϕ = σ
ϕ  в 
+
lim (t, )
(t, ) lim
(t, )
(t, )
n
n
n→∞
n→∞
каждой точке  (t,ϕ) ∈
d
×
× ([− ,0]
d
R
R
C
h
→ ) . 
+
 
30



следующая страница >>