sotrud.ru 1 2 3


Управління освіти виконавчого комітету

Шепетівської міської ради

Методичний кабінет

Навчально-виховне об’єднання №2


Розв’язування ірраціональних нерівностей


Виконавець

Кутова Тетяна Василівна,

вчитель математики, спеціаліст вищої категорії, старший вчитель,

Солоп Алла Василівна,

вчитель математики, спеціаліст


2012р


Анотація


У посібнику подано матеріал до 20 занять з теми «Ірраціональні нерівності». До більшості тем дано короткі теоретичні відомості, рекомендовано матеріал для повторення, наведено приклади розв’язання типових вправ. Він містить значну кількість вправ з відповідями, які можуть бути використані для самостійної роботи учнів. Може бути використаний у загальноосвітніх школах для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання та олімпіад.


З М І С Т


Пояснювальна записка……………………………………………………………………4

Програма курсу за вибором «Ірраціональні нерівності»……………………………….5


Розв’язування нерівностей виду ……………………….6

Розв’язування нерівностей виду ……………………...10

Розв’язування нерівностей виду , , …………………………………………………….13

Розв’язування нерівностей виду ………….……..15

Розв’язування нерівностей виду .…………………………...18

Розв’язування нерівностей виду ………………….20

Графічний метод розв’язування ірраціональних нерівностей………….…………….22

Ірраціональні нерівності з модулем…………………………………………………….30

Використання властивостей монотонності функції для ірраціональних
нерівностей...………………………………………………………………………….….35

Розв’язування ірраціональних нерівностей, використовуючи метод введення
нової змінної...……………………………………………………………………………40

Ірраціональні нерівності з параметрами………………………..…………………..….45

Література………………………………………………………………………………...56


Пояснювальна записка


Даний посібник складений до програми курсу за вибором «Ірраціональні нерівності» (для учнів 11 класу фізико-математичного профілю). Програма розрахована на 20 годин і може використовуватись у класах з поглибленим вивченням математики та класах фізико-математичного профілю.

Навчальний посібник може бути використаний у загальноосвітніх школах для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання та олімпіад. У ньому подано матеріал до 20 занять з теми «Ірраціональні нерівності». До більшості тем дано короткі теоретичні відомості, рекомендовано матеріал для повторення, наведено приклади розв’язання типових вправ. Посібник містить значну кількість вправ з відповідями, які можуть бути використані для самостійної роботи учнів.

Сподіваємось, що підібраний матеріал полегшить підготовку вчителя до занять та удосконалить вміння учнів розв’язувати ірраціональні нерівності.


Програма курсу за вибором «Ірраціональні нерівності»



№ п/п

Зміст навчального матеріалу курсу

К-сть годин

1

Розв’язування нерівностей виду .

1

2

Розв’язування нерівностей виду .

1

3

Розв’язування нерівностей виду , , .

3

4


Розв’язування нерівностей виду .

2

5

Розв’язування нерівностей виду .

1

6

Розв’язування нерівностей виду .

1

7

Графічний метод розв’язування ірраціональних нерівностей.

2

8

Ірраціональні нерівності з модулем.

2

9

Використання властивостей монотонності функції для ірраціональних нерівностей.

2

10

Розв’язування ірраціональних нерівностей, використовуючи метод введення нової змінної.

2

11

Ірраціональні нерівності з параметрами.

3


Урок 1

Тема.
Розв’язування нерівностей виду .

Мета. Формувати вміння переходити від даної нерівності до системи алгебраїчних нерівностей і розв’язувати їх.

Короткі теоретичні відомості

Урок слід почати з мотивації навчальної діяльності, а також повторити означення нерівності, що означає «розв’язати нерівність», означення рівносильних нерівностей.


Особливу увагу треба звернути на перетворення, які приводять до рівносильних нерівностей.

? Теорема 1. Якщо до обох частин нерівності додати одну і ту ж функцію , яка визначена при всіх значеннях х із даної області визначення даної нерівності, і при цьому залишити без зміни знак нерівності, то одержана нерівність рівносильна даній.

Нерівності і – рівносильні.

? Теорема 2. Якщо обидві частини нерівності помножити чи поділити на одну і ту ж функцію , яка при всіх значеннях х із області визначення даної нерівності набуває лише додатного значення, і при цьому залишити без зміни знак нерівності, то одержана нерівність рівносильна даній.

Нерівності і – рівносильні.

? Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити чи поділити на одну і ту ж функцію , яка при всіх значеннях х із області визначення даної нерівності набуває від’ємного значення, і при цьому замінити на протилежний знак нерівності, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Нерівності і – рівносильні, якщо .

? Теорема 4. Нехай дано нерівність , причому і при всіх х із області визначення нерівності. Якщо обидві частини нерівності піднести до одного і того ж натурального степеня, то нерівність – рівносильна даній.


При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовуються ті ж прийоми, що і при розв’язуванні ірраціональних рівнянь: піднесення обох частин нерівності до одного і того ж степеня, введення нових (допоміжних) змінних і т.д.

Здійснювати розв’язання можна дотримуючись, наприклад, слідуючого плану:


  1. знайти область визначення даної нерівності;

  2. користуючись теоремами про рівносильність нерівностей, розв’язати дану нерівність;

  3. відібрати із знайдених розв’язків значення змінної, які належать області визначення заданої нерівності.

Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Розв’язати нерівність

Область визначення нерівності: .

Піднесемо обидві частини нерівності до квадрата:



Враховуючи область визначення,

Відповідь:

Розглянемо нерівність виду .

  1. Якщо , то нерівність не має розв’язків.

  2. Якщо , то маємо можливість піднести обидві частини нерівності до степеня 2n. Отже, нерівність рівносильна системі раціональних нерівностей:



Приклад 2. Розв’язати нерівність .

.


Відповідь: .


Приклади, які можуть бути використані для організації самостійної роботи учнів.

Розв’язати нерівність:




Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:

Відповідь:

Урок 2

Тема. Розв’язування нерівностей виду .

Мета. Формувати вміння переходити від даної нерівності до сукупності двох систем раціональних нерівностей і розв’язувати їх.

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо нерівність . Ліва частина цієї нерівності невід’ємна. Якщо права частина при всіх х з області визначення набуває таких самих значень, то піднесемо обидві частини нерівності до степеня 2n. Усі ці значення змінної х знаходимо із системи:



Нерівність можна виключити, оскільки решта двох гарантують виконання цієї умови.

Якщо змінна х набуває таких значень з області визначення, при яких , то всі ці значення змінної будуть розв’язками даної нерівності, за умови, що вони входять до області визначення (). Усі ці значення змінної знаходяться із системи:



Отже, нерівність рівносильна сукупності двох систем раціональних нерівностей:



Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Розв’язати нерівність


Із першої системи , а з другої . Отже .


Відповідь: .

Приклади, які можуть бути використані для організації самостійної роботи учнів.

Розв’язати нерівність:




Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:



Відповідь:

  1. Знайти найменше ціле додатне число х, яке задовольняє нерівність

Відповідь:


Урок 3-5

Тема. Розв’язування нерівностей виду ,

, .

Мета. Формувати вміння розв’язувати вищевказані нерівності, визначивши відповідний алгоритм розв’язування даних нерівностей.

Короткі теоретичні відомості

Слід звернути увагу на те, що піднесення обох частин нерівності до непарного степеня із збереженням знака нерівності завжди є рівносильним перетворенням.

Отже, нерівність виду , де n – деяке натуральне число, а символ позначає один із знаків <, >, ?, ?, рівносильна нерівності .

Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Розв’язати нерівність .

.

– корінь рівняння. Якщо , то .

Відповідь. .

Приклад 2. Розв’язати нерівність .

Ця нерівність рівносильна нерівності .


Множина розв’язків нерівності: .

Відповідь.

Приклад 3. Розв’язати нерівність .

Область визначення: , .



При обидві частини нерівності невід’ємні, тому дана нерівність рівносильна системі нерівностей:



Відповідь. .

Приклади, які можуть бути використані для організації самостійної роботи учнів.


  1. Знайти найменший цілий розв’язок нерівності

Відповідь. -2.

  1. Знайти найменший натуральний розв’язок нерівності

Відповідь. 3.

  1. Знайти найбільший розв’язок нерівності

Відповідь. 5.

  1. Розв’язати нерівність

  2. Розв’язати нерівність

Відповідь.

Урок 6-7



следующая страница >>