sotrud.ru 1


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет
И.И. Голичев


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Лабораторный практикум по курсу «Численные методы»


Рекомендовано Редакционно-издательским советом УГАТУ в качестве учебного пособия


Уфа 2006

УДК 519. 6(07)

ББК 22.19 (я7)

Г60
Рецензенты: проректор БГУ, д-р физ. - мат.наук, проф. Морозкин Н.Д., ведущий научный сотрудник Института математики с ВЦ УНЦ РАН, д-р физ. -мат. наук Мусин И.Х.
Голичев, И.И.

Г60 Численные методы: лабораторный практикум по курсу «Численные методы» И.И. Голичев / Уфимск. гос. авиац. техн. ун - т. – Уфа: УГАТУ 2006 – 51 с.
ISBN 5-86911-615-5


Лабораторный практикум содержит описание лабораторных работ по численным методам решения задач из разделов «Системы линейных алгебраических уравнений», «Интегрирование», «Аппроксимация функций», «Нелинейные алгебраические уравнения», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Уравнения математической физики». При выполнении работы не предполагается использование готовых программных продуктов. В практикуме содержатся альтернативные варианты решения ряда задач, что облегчает адаптацию конкретных задач к рассмотренным вариантам. Предлагаемые в практикуме методы и алгоритмы численного решения задач могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ.

Практикум предназначен для студентов 3 курса по специальности «Прикладная математика».

Печатается по решению редакционно-издательского совета Уфимского государственного авиационного технического университета

УДК 519. 6(07)

ББК 22.19 (я7)


ISBN 5-86911-615-5


©Голичев И.И., 2006

©Уфимский государственный

авиационный технический университет, 2006


Введение



Предлагаемые в данном практикуме лабораторные работы соответствуют программе по дисциплине «Численные методы».
Первая лабораторная работа по итерационным методам решения систем линейных уравнений имеет подготовительный характер направлений на то, чтобы студент легче освоил методы численного решения краевых и начально-краевых задач уравнений математической физики.
Вторая лабораторная работа направлена на практическое освоение методов интегрирования и интерполяции и включает работы 2 – 4.

Третья лабораторная работа посвящена численным методам решения нелинейных уравнений и систем и состоит из работ 5 – 7.

В четвертой лабораторной работе излагаются численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и подразумевает выполнение работ 8, 9.

В пятой и шестой лабораторной работе предполагается практическое освоение студентами численных методов решения краевых и начально- краевых задач уравнений математической физики, которые изложены в работах 10 – 14. Работы 11 – 13 носят факультативный характер.

Лабораторная работа № 1.

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева
Метод простых итераций
Требуется решить систему уравнений

, (1)
где симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид

, (2)


где где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить
,

.
Из (2) следует, что

(3)

Полагаем начальное приближение Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.


Метод Чебышева
Пусть симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий
, (4)



где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.




Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается, процедура повторяется.

Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем
Задание
.
Написать программы для решения системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева. Исходная система имеет вид:

,
где матрица
– искомый вектор-столбец.


Провести вычисления на ЭВМ.


Порядок выполнения лабораторной работы.


  1. Оценить и .
  2. Вычислить для метода простых итераций и для метода Чебышева.


  3. Написать подпрограмму для расчета невязки

  4. Составить программу для метода простых итераций и провести вычисления с указанной точностью.

  5. Составить программу для метода Чебышева и провести вычисления с указанной точностью.


Варианты.


Вариант

a

b

Вариант

a

b

1

1

1

16

4

1

2

1

2

17

4

2

3

1

3

18

4

3

4

1

4

19

4

4

5

1

5

20

4

5

6

2


1

21

5

1

7

2

2

22

5

2

8

2

3

23

5

3

9

2

4

24

5

4

10

2

5

25

5

5

11

3

1

26

0

1

12

3

2

27

0

2

13

3

3

28

0

3

14

3

4

29

0

4

15


3

5

30

0

5


Лабораторная работа № 2.
Приближённое вычисление интеграла

методом Симпсона
Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если непрерывна на , то

, .


С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для много членов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной подынтегральной функции.


На практике применяют правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

Задание. Составить программу вычисления по формуле Симпсона с поправкой Рунге. Оценить погрешность по Рунге. Произвести вычисления на ЭВМ.

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.


  1. Выбрать чётное число для составной формулы Симпсона.

  2. Написать подпрограмму-функцию для вычисления подынтегральной функции.

  3. Составить головную программу.

  4. Произвести вычисления по программе.


Варианты заданий.

1. 10.

2. 11.

3. 12.

4. 13.

5. 14.


6. 15.

7. 16.

8. 17.

9. 18.

19. 20.

21. 22.

23.



Лабораторная работа № 3.
Приближённое вычисление интеграла

по квадратурной формуле Гаусса.
В лабораторной работе 6 отмечалось, что алгебраический порядок точности квадратурной формулы Симпсона равен трём. Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса



узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .


Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом . Таким образом, квадратурная формула Гаусса



имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .


Задание. Вычислить .

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.


  1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений подынтегральной функции .

  2. Составить головную программу и печать результатов.

  3. Произвести вычисления на ЕС ЭВМ.


Варианты заданий.

1. 14. 27.

2. 15. 28.

3. 16. 29.


4. 17. 30. .

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21.

9. 22.

10. 23.


11. 24.

12. 25.

13. 26.

Лабораторная работа № 4.
Тригонометрическая интерполяция
Пусть функция задана на отрезке таблицей значений в равностоящих узлах . Тригонометрическим многочленом степени называют многочлен

.


Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного много члена наименьшей степени, удовлетворяющего условиям . Можно показать, что решением этой задачи является тригонометрический многочлен

, (1)

коэффициенты, которого вычисляются по следующим формулам:

,

, (2)

.

Широкие возможности тригонометрической интерполяции следуют из этого факта, что с возрастанием многочлен аппроксимирует с возрастающей точностью, т.е.

,

это утверждение справедливо для достаточно широкого класса функций. Этим тригонометрическая интерполяция существенно отличается от алгебраической интерполяции на системе равноотстоящих узлов. При алгебраическом интерполировании разность между функцией и интерполяционном многочленом может быть как угодно большой всюду, кроме узлов интерполяции. Тригонометрическое интерполирование полностью свободно от этого недостатка.

Задание. Построить интерполяционный тригонометрический многочлен, аппроксимирующий функцию , заданную таблицей значений в точках .
Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.


  1. Составить головную программу.

  2. Провести вычисления на ЕС ЭВМ.

Варианты заданий.

Построить интерполяционный тригонометрический многочлен, аппроксимирующий функцию, заданную в точках

таблицей значений


Вариант 1

1.00; 1.803; 3.085; 4.776; 6.434; 7.347; 7.027; 5.652; 3.897; 2.381; 1.347; 7.422; 0.419; 0.256; 0.176; 0.142; 0.136; 0.155; 0.209; 0.324; 0.554

Вариант 2

7.38; 6.76; 5.22; 3.47; 2.07; 1.16; 0.64; 0.36; 0.23; 0.16; 0.13; 0.13; 0.16; 0.23; 0.37; 0.64; 1.16; 2.08; 3.48; 5.22; 6.76

Вариант 3

–1.24; –1.17; –1.08; –0.96; –0.84; –0.79; –0.8; –0.9; –1.1; –1.21; –1.02; –1.28; –1.32; –1.34: –1.36; –1.37; –1.37; –1.36; –1.35; –1.33; –1.30

Вариант 4

–3.0; –3.58; –4.12; –4.56; –4.86; –4.99; –4.94; –4.73; –4.36; –3.86; –3.30; –2.7; –1.64; –1.26; –1.05; –1.00; –1.13; –1.43; –1.87; –2.43


Вариант 5

1.0; 1.05; 90.6; 520.4; 1714.7; 2915.0; 2439.2; 1020.6; 230.7; 32.17; 3.29; 0.3; 0.03; 0.004; 0.001; 0.0003; 0.0006; 0.002; 0.01; 0.09; 0.9

Вариант 6

2980.1; 2089.3; 742.4; 146.6; 18.6; 1.8; 0.16; 0.02; 0.003; 0.001; 0.001; 0.001; 0.002; 0.003; 0.018; 0.9; 1.22; 18.6; 146.6; 742.5; 2089.7

Вариант 7

1.0; 1.34; 1.75; 2.18; 2.53; 2.71; 2.65; 2.37; 1.97; 1.54; 1.16; 0.86; 0.64; 0.5; 0.42; 0.37; 0.36; 0.39; 0.45; 0.56; 0.74

Вариант 8

2.71; 2.6; 2.28; 1.86; 1.44; 1.07; 0.8; 0.46; 0.42; 0.4; 0.37; 0.37; 0.4; 0.48; 0.6; 1.07; 1.44; 1.86; 2.28; 2.6

Вариант 9

–1.32; –1.28; –1.26; –1.24; 1.25; –1.25; –1.25; –1.26; –1.27; –1.29; –1.29; –1.33; –1.34; –1.37; –1.37; –1.37; –1.37; –1.36; –1.36; –1.35; –1.34

Вариант 10

–4.0; –4.2; –4.5; –4.7; –4.9; –5.0; –4.9; –4.9; –4.8; –4.6; –4.4; –4.1; –3.8; –3.5; –3.1; –3.0; –3.0; –3.0; –3.1; –3.2; –3.4; –3.7

Вариант 11

1.0; 2.4; 5.4; 10.4; 16.3; 19.9; 18.6; 13.4; 7.7; 3.6; 1.6; 0.64; 0.27; 0.13; 0.07; 0.05; 0.05; 0.06; 0.09; 0.18; 0.4

Вариант 12

20.0; 17.5; 11.9; 6.4; 2.9; 1.2; 2.9; 0.5; 0.2; 0.1; 0.06; 0.05; 0.05; 0.06; 0.1; 0.5; 1.0; 1.2; 2.9; 6.4; 11.9; 17.5

Вариант 13


–1.1; –0.8; –0.3; 0.3; 0.7; 0.8; 0.7; 0.5; 0.04; –0.6; –0.9; –1.1; –1.27; –1.32; –1.35; –1.37; –1.37; –1.36; –1.34; –1.3; –1.2

Вариант 14

–2.0; –2.8; –3.7; –4.3; –4.7; –4.9; –4.5; –4.1; –3.3; –2.4; –1.5; –0.6; –0.04; 0.6; 0.92; 0.99; 0.79; 0.34; –0.3; –1.1

Вариант 15

1.1; 3.2; 9.5; 22.8; 41.4; 53.9; 49.4; 31.9; 15.2; 5.7; 1.8; 0.55; 0.17; 0.06; 0.03; 0.02; 0.01; 0.02; 0.04; 0.1; 0.3

Вариант 16

–0.78; –1.22; –1.34; –1.39; –1.42; –1.43; –1.42; –1.41; –1.37; –1.3; –1.1; –0.1; 1.1; 1.2; 1.33; 1.36; 1.37; 1.35; 1.3; 1.17; 0.65

Вариант 17

54.5; 45.7; 27.2; 12.1; 4.3; 1.3; 0.4; 0.13; 0.05; 0.03; 0.02; 0.02; 0.03; 0.05; 0.13; 0.41; 1.3; 4.3; 12.1; 21.2; 45.7

Вариант 18

–0.78; 0.18; 0.89; 1.13; 1.21; 1.18; 1.04; 0.63; –0.38; –1.01; –1.22; –1.3; –1.35; –1.36; –1.37; –1.36; –1.33; –1.27; –1.1

Вариант 19

–1.0; –2.1; 3.2; –4.1; –4.7; –4.9; –4.8; –4.4; –3.7; –2.7; –1.6; –0.4; 0.7; 1.7; 2.4; 2.9; 3.0; 2.7; 2.1; 1.2; 0.2

Вариант 20

1.0; 4.36; 16.7; 49.8; 105.0; 146.3; 130.9; 75.9; 30.0; 8.75; 2.1; 0.47; 0.11; 0.03; 0.01; 0.007; 0.006; 0.009; 0.02; 0.05; 0.2

Вариант 21

148.4; 118.8; 62.6; 22.5; 6.21; 1.45; 0.33; 0.08; 0.02; 0.01; 0.007; 0.007; 0.01; 0.02; 0.08; 0.32; 1.45; 6.2; 22.6; 62.2; 119.0

Вариант 22


0.0; 0.97; 1.23; 1.32; 1.36 1.37; 1.36; 1.34; 1.28; 1.13; 0.64; –0.64; –1.13; –1.28; –1.34; –1.37; –1.36; –1.32; –1.23; –0.9; –0.2

Вариант 23

–0.0001; –1.47; –2.8; –3.9; –4.65; –4.98; –4.87; –4.33; –3.4; –2.16; –0.74; 0.74; 2.17; 3.14; 4.33; 4.87; 4.98; 4.65; 3.9; 2.8; 1.4

Вариант 24

1.0; 5.8; 29.3; 108.9; 266.44 396.7; 347.1; 180.5; 59.2; 13.5; 2.4; 0.4; 0.07; 0.01; 0.005; 0.003; 0.002; 0.004; 0.009; 0.03; 0.1

Вариант 25

403.4; 309.0; 142.2; 42.1; 8.9; 1.56; 0.26; 0.05; 0.01; 0.0044; 0.0026; 0.0026; 0.0044; 0.01; 0.05; 0.263; 1.56; 8.95; 42.1; 142.2; 309.9

Вариант 26

0.78; 1.22; 1.34; 1.39; 1.42; 1.43; 1.42; 1.41; 1.37; 1.3; 1.1; 0.1; –1.1; –1.2; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.3; 1.17; –0.65

Вариант 27

1.0; –0.77; –2.3; –3.6; –4.6; –4.9; –4.8; –4.1; –3.1; –1.6; 0.1; 1.9; 3.6; 5.1; 6.2; 6.84; 6.98; 6.58; 5.69; 4.4; 2.7

Вариант 28

1.0; 7.8; 51.5; 238.1; 675.9; 1075.4; 920.1; 429.3; 110.8; 20.8; 2.83; 0.35; 0.04; 0.01; 0.002; 0.001; 0.001; 0.001; 0.004; 0.02; 0.12

Вариант 29

1.10; 1.32; 1.40; 1.43; 1.45; 1.46; 1.44; 1.42; 1.37; 1.25; 0.76; –0.8; –1.22; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.29; –1.1; –0.1

Вариант 30

2.0; –0.06; –1.9; –3.4; –4.9; –4.8; 4.0; –2.7; –1.1; 0.95; 3.0; 5.0; 6.7; 8.1; 8.8; 8.9; 8.5; 7.47; 5.94; 4.06



Лабораторная работа № 5.